sorozatok | Sorozat fogalma: | Ha egy függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza, akkor ezt a függvényt valós számsorozatnak, vagy röviden sorozatnak nevezzük. |
Jelölések:
ha egy sorozat n-edik tagjának értéke a, akkor ezt így jelöljük: an.
| Számtani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag különbsége állandó. |
Ezt az állandó különbséget a sorozat differenciájának nevezzük, és általában d-vel jelöljük. Azaz: an = an-1 - d (n > 1)
Ha egy számtani sorozatnál d > 0 , akkor a sorozat monoton növekvő, és alulról korlátos.
Ha d < 0, akkor a számtani sorozat monoton csökkenő, és felülről korlátos.
Ha pedig d = 0, akkor a számtani sorozat nemnövekvő, nemcsökkenő, azaz állandó.
Példa:
Legyen egy számtani sorozatban a1 = 3 és a differenciája: d = 2
Ekkor a sorozat: 3; 5; 7; 9;...
| Megjegyzés: | Ha meg van adva egy sorozat első pár eleme, ahol a különbség állandó, az még nem bizonyítja, hogy számtani sorozatról van szó.
Például:
a1 = 3; a2 = 3; a3 = 5. Ez a sorozat így is folytatódhat: a4 = 11; a5 = 13; a6 = 17;..., ami a páratlan prímszámok sorozata. |
Számtani sorozat elnevezéséről:
Írjuk fel a sorozat pár szomszédos elemét:
an-1; an; an+1
Ezt a definíció szerint így is írhatjuk:
an-d; an; an + d
Ami azt jelenti, hogy: an = (an-i+an+i) / 2 ; n > i
Tehát a számtani sorozat n-edik eleme számtani közepe a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő két másik tagnak.
| | Mértani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag hányadosa állandó. |
Ezt az állandó hányadost latin eredetű szóval a sorozat kvóciensének nevezzük, és általában q-val jelöljük. Azaz:
an / an-1 = q (n>1)
Ha egy mértani sorozatnál q>0, akkor a mértani sorozat állandó előjelű.
Ha egy mértani sorozatnál q<0, akkor a mértani sorozat váltakozó előjelű.
Példa:
Legyen egy mértani sorozatban a1 = 3 és a kvóciens: q = 2 Ekkor a sorozat: 3; 6; 12; 24;...
Mértani sorozat elnevezéséről:
Írjuk fel a sorozat pár szomszédos elemét:
an-1; an; an+1
Ezt a definíció szerint így is írhatjuk:
an / q ; an; an * q
Ami azt jelenti, hogy a mértani sorozat n-edik (nem első) tagja vele szomszédos két tag mértani közepe.
an= family: verdana">√ (an-ian+i) ; ahol n > i
Amit úgy is fogalmazhatunk, hogy a mértani sorozat n-edik eleme mértani közepe a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő két másik tagnak.
Szerzők: leona
[Szócikk szerkesztése]
[Lexikon kezdőlapra lépés]
|
